Práctica 19

Triángulo afín de un triángulo rectángulo

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Elipse afín de una circunferencia dados los centros y una tangente de la elipse afín

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Prácticas 13, 14, 15, 16 y 17

Prácticas 8, 9, 10, 11 y 12

Curvas cónicas, tangentes e intersecciones

Recta tangente por un punto dado a una curva cónica

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Rectas tangentes desde un punto exterior a una curva cónica

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Rectas tangentes a una curva cónica siendo paralelas a una recta dada

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Intersección de una curva cónica con una recta dada

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Hipocicloide

Hipocicloide

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Epicicloide

Epicicloide

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Curvas cíclicas

Aquí os dejo unos enlaces para que veáis como se generan las curvas cíclicas, si curioseáis hay muchas más de las que estudiamos: nefroides, deltoides, astroides...

Probadlo, solo os llevará un par de minutos y veréis muy rápido el concepto de cicloide, epicicloide e hipocicloide, tanto las normales como las alargadas o acortadas (aquí a estas últimas las denomina por su nombre técnico: trocoides, epitrocoides e hipotrocoides)

Cicloide
Epicicloide
Hipocicloide
Cicloide alargada y acortada (trocoide)

Epicicloide alargada y acortada (epitrocoides)

Epicicloide alargada y acortada (2) (epitrocoides)

Hipocicloide alargada y acortada (hipotrocoides)

Hipocicloide alargada y acortada (2) (hipotrocoides)

Cicloide

Cicloide

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Sobre las curvas cónicas

Las curvas cónicas deben su nombre a la figura de la cual provienen; el cono. En ocasiones nos podemos referir a ellas simplemente por su adjetivo “cónicas” omitiendo el sustantivo “curvas” y es importante no confundirlas con las perspectivas o figuras cónicas, a las que también nos referiremos en multitud de ocasiones como cónicas a secas y que también deben tal calificativo a su proveniencia del mismo volumen, pero de forma muy distinta.

Cómo decía, las curvas cónicas provienen de un cono, más concretamente de las secciones que le podemos practicar a un cono:

Si realizamos una sección perpendicular a su eje obtenemos la circunferencia.

Si la sección es oblicua al eje y corta a todas las generatrices es una elipse.

Si es paralela a una generatriz resultará una parábola.

Si es paralela a dos generatrices es una hipérbola.

Fuente: dibujotecnico.com

Fuente: recursostic.educacion.es/descartes

Nuestro objeto de estudio en esta ocasión son las tres últimas ya que la primera, la circunferencia, la conocemos mejor y nos es más habitual.

¿Pero dónde encontramos elipses parábolas e hipérbolas en la realidad? ¿Existen las curvas cónicas fuera de la clase de matemáticas, física y dibujo técnico?

Pues existen, por ejemplo la elipse es la que describen todos los planetas al girar alrededor del sol. Así lo afirmó Kepler hace ya más de 400 años, quien sostenía que las órbitas de los planetas son elipses y que en uno de sus focos está el Sol. Pero tenemos elipses más pequeñas en nuestra cotidianidad; por ejemplo al circular por carreteras y entrar en travesías que atraviesan pueblos podemos encontrar señales en el suelo de limitación de velocidad que en realidad son elipses, dibujadas así expresamente para que nosotros con la perspectiva desde la que las observamos las percibamos como círculos. Y al contrario también ocurre, elementos que sabemos que son círculos objetivos los percibimos como elipses (alcantarillas, ruedas, papeleras, señales…).

Fuente: Google maps

Fuente. elaboración propia a partir de Google images

Las hipérbolas quizá sea más complicado encontrarlas, o no… dado que no siempre que las encontremos han de tener sus dos ramas representadas. Un ejemplo es la luz proyectada por una lámpara o una farola sobre una pared. También las luces de un coche sobre el suelo hacen el mismo efecto pero visualizándose solo una rama.

Fuente: captura propia

Las parábolas son muy utilizadas. Por ejemplo en los faros de un coche, la curva del reflector de las luces cortas o de cruce es una parábola y sirve para redirigir toda la luz en único sentido y no deslumbrar a otros coches. Y sobre todo son utilizadas en lanzamientos, tanto los lanzamientos deportivos (martillo, jabalina, peso…) como los militares de artillería son calculados con parábolas y quien los efectúa maneja parábolas constantemente para aumentar su efectividad. Como prueba de las parábolas os dejo un enlace al mítico juego Angry Birds que va de matar cerditos mediante lanzamiento parabólico de pájaros, para que os paséis un rato agradable entre parábolas.